Mon sujet est arrivé! Je suis absolument la personne la plus inepte en maths que la Terre n'est jamais portée! Jamais dépassé 5 de moyenne de toute ma scolarité, et en première L, je faisais tellement de bordel pendant le cours Maths-informatique niveau CE2 spécial littéraire classe poubelle que j'ai eu... 5! Mon chiffre totem!
Simoneveil a écrit :Nan mais je veux pas forcément de conseils, je voulais juste voir s'il y avait des gens comme moi et l'expérience des gens vis à vis des maths en général. Discussion générale quoi^^
Les maths c'est beau, c'est classe, c'est mystérieux! C'est manipuler l'abstrait, exercer son raisonnement, créer/trouver des lois universelles!
Je mentirais en disant qu'au lycée j'adorais ça, pourtant je n'était pas mauvais (même si je ne fichais rien) ma prof en terminale était géniale pourtant, doit y avoir un truc qui m'a rebuté...
Depuis que je n'en fait plus ça me manque terriblement, j'essaie de retrouver des formules quand je m'ennuie en cours, rien que le fait de voir des suites de chiffres ça m'émoustille...je n'en n'ai tellement plus l'habitude. :s
Ah, et surtout: on peut utiliser les maths partout, même ce qu'on trouvait inutile. Aujourd'hui je m'étonne à trouver des applications mathématiques dans mon environnement et dans ce que je vis.
Tiens j'ai récupéré ça dans mon ordi. Ouais je suis une glandeuse j'ai arrêté de suivre en plein milieu c'est donc le début du début quoi. Les symboles passent pas, ce qui est évidemment très con. mais stu veux je te l'envoie par mail, sauf que j'ai pas ton mail.
Les difficultés liées aux notions de logique propositionnelle. Trois notions principales :
1. L’argument
2. Validité des arguments
3. Forme logique des arguments
1. L’argument
Définition de la validité de l’argument : la validité d’un argument n’est pas équivalent à la vérité de la proposition. Un argument est composé des prémisses et de la conclusion. La validité est une question de rapport entre les prémisses et la conclusion. Les prémisses sont acceptées comme vraies alors la conclusion est varie. La vérité des prémisses suffisait à garantir la validité de la conclusion. La neutralité topique des arguments : peu importe ce dont traitent les arguments, on peut étudier leur validité formelle. La logique permet d’analyser toutes les formes de raisonnement. La notion de forme logique est intéressante, car pour certains arguments on ne peut pas voir tout de suite pourquoi ils sont invalides. L’intuition si on ne connaît pas les règles est seule à nous faire sortir l’invalidité d’un argument. L’argument instancie* un certain patron logique qui peut être instancié par d’autres arguments (instancier peut-être remplacé par exemplifie).
2. Validité des arguments
Il y a des difficultés liées aux notions de validité, non validité, forme logique. Ces difficultés liées à la relativité des notions de forme logique et celle de forme logique non valide. ‘Relativité face au système logique choisi, rien n’est relatif tout court) D’autre part difficultés liées au fait qu’il est parfois difficile d’évaluer la validité d’une forme d’argument. La validité ou non validité est liée à la forme logique de l’argument. La notion de forme logique est relative au système logique utilisé pour analyser l’argument. Par exemple en logique des prédicats on peut donner une description plus fine de la forme d’un argument en analysant la structure interne des propositions atomiques elles-mêmes. (Une proposition dans laquelle ne figure aucun connecteur)
Si j’utilise le système de la logique du prédicat pour analyser la forme des prédicats j’obtiendrai une forme différente de celle de la logique des propositions. En logique propositionnelle on ne peut pas dire grand-chose sur les propositions traduites en logique des prédicats. Il y a différents niveaux d’analyse possibles de la forme logique d’un argument.
Ex : « tous les hommes sont mortels » sera traduit : « (x) (Hx Mx) » en logique. Ce sont différents niveaux d’analyse de la forme logique.
Il y a les prédicats et les arguments. La notion de forme logique est relative au système d’analyse utilisé. Celles de validité ou de non validité seront aussi relatives au système choisi. Il y a une asymétrie entre la notion de validité et celle de non validité. Ce qui sera valide dans un système le sera dans tous. Par contre ce qui est invalide dans certains systèmes peut l’être dans d’autres. Si un argument est proportionnellement valide alors il est valide absolument.
Exemple :
P : « Socrate est sage »
Q : « Donc quelqu’un est sage »
Est invalide car il n’y a pas de lien entre « Socrate » et « quelqu’un ». P Q donc Q est faux. Et « P = Q » est faux.
3. Forme logique des arguments
Un argument peut-être exprimé dans le langage naturel dans une forme qui ne permet pas immédiatement de reconnaître sa structure. D’où l’intérêt de symboliser les phrases qui permettent de l’exprimer.
Etape 1 (avant de tester la validité d’un argument) est l’étape de traduction des phrases dans le langage des symboles formel. Certaines phrases ne sont pas toujours faciles à symboliser, d’où des difficultés d’interprétation réelles. Le nombre de symboles est restreint et on perd la polysémie. Le vocabulaire logique est fini et c’est sa force.
COURS
I / La symbolisation des langues naturelles
Présentation des principaux connecteurs propositionnels et de leurs symboles logiques. On les appelle parfois « foncteurs logiques. » ou « constantes logiques » Ce sont des symboles dont la signification est censée rester constante. Elle ne varie pas en fonction du contexte et des circonstances de l’énonciation.
Présentation générale des connecteurs :
Les prémisses et la conclusion qui figurent dans les arguments sont toutes des phrases complètes symbolisables par des lettres. Ces lettres (en minuscule) p, q, r. Parfois on trouve des majuscules mais elles sont réservées à d’autres usages ce sont des variables métalinguistiques.
Certaines d’entre elles consistent en phrases complètes plus simples combinées entre elles par des connecteurs logiques du type : si, alors, et…etc.
Une phrase telle que : « si cette pierre a été mise au feu alors elle est chaude » est complexe parce que « alors » fait intervenir une relation du type « Si… alors ». C’est un connecteur propositionnel. La logique propositionnelle traite de la logique des connecteurs propositionnels.
On distingue généralement 5 connecteurs propositionnels principaux. Les autres peuvent être définis à partir de ces 5 là. Il y a une inter définissabilité des connecteurs.
Connecteurs propositionnels Traduction en logique des propositions symbole
1. La négation « il n’est pas vrai que… » ou
2. La disjonction « …ou… »
3. La conjonction « …et … »
4. Le conditionnel ou implication matérielle « Si… alors… »
5. Le biconditionnel « Si et seulement si… »
Il existe des connecteurs unaires et des connecteurs seul le 1. la négation « il n’est pas vrai que… » est un connecteur unaire.
Il n’admet qu’une seule position, un connecteur unaire combiné avec une phrase forme une phrase combinée ou complexe.
Ex : « il n’est pas vrai que p » est une phrase complexe puisque j’ai déjà un connecteur propositionnel. Une proposition non complexe serait simplement « p ». La négation d’une phrase n’est pas une phrase simple. Une proposition complexe est constituée de deux phrases simples reliées.
Conclusion : une phrase dans laquelle ne figure aucun connecteur propositionnel est une phrase simple ou atomique. « Il est vrai que p » est une phrase simple puisqu’on peut enlever la première partie de la proposition (question : grammaticalement y a-t-il d’autres phrases complexes simples en logique ?)
Comment nomme-t-on les membres d’une conditionnelle ?
p q p se nomme l’antécédent, et q se nomme le conséquent.
Il existe d’autres connecteurs ou foncteur logiques :
7. L’incompatibilité p q mais ce symbole recoupe la négation disjointe et
p q p q ou même (pq) (La loi de Morgan permet de faire ces sauts.)
8. La négation simultanée : ni… ni… : pq qui est équivalent à p q (p q)
La liste des connecteurs fondamentaux est finie. Il y a autant de connecteurs que de combinaisons possibles des valeurs de vérité de N proposition élémentaires dans une table de vérité. Le nombre des propositions élémentaires dans une table de vérité est infini. Par contre le nombre de combinaisons eut égard à leur valeur de vérité est fini. [… ???]
A une phrase atomique correspond une table de vérité.
proposition ⊤ p tautologie p p p tautologie
Vrai V F V F
Faux V V F F
Ce sont les seules possibilités, ces quatre cas sont dit « cas dégénérés » car même sans connaître le connecteur qui donne ces valeurs de vérité je peux les deviner. Si on regarde les cas dégénérés ce sont des cas limite qui aboutissent toujours soit à une tautologie soit à une contradiction.
06/10/2006
Connecteur = opérateur = foncteur. Les foncteurs logiques ou constantes logiques comptent les signes et .
En logique le symbole conservent une signification constante quel que soit le contexte. Les signes qui changent de signification selon le contexte portent le om d’indexicaux : ici, je, la bas, maintenant ;;;etc. D’ailleurs lorsque Descartes fait usage d’un indexical comme s’il n’était pas indexical à savoir le « je pense donc je sui » cela pose problème. C’est Peirce qui met ces indexicaux en évidence. Certains symboles ont une signification constante ce sont les quantificateurs et connecteurs de la logique propositionnelle. Un foncteur est lié à l’idée de « fonction de vérité ». C’est une grande idée. Les phrases complexes sont des fonctions de vérité. Il y a des fonctions plus simples. Le mot « opérateur » insiste sur le fait que le rapport est un rapport d’opérations de vérités. Une fonction de vérité est différente d’un opérateur de vérité. Historiquement Wittgenstein qui est officiellement celui qui introduit la fonction de vérité en fait substitue à la théorie des fonctions de vérité celle des opérations de vérité.
Certains connecteurs ne sont pas explicites dans la langue naturelle et il y a des problèmes liés à l’interprétation de la portée des connecteurs. Une phrase atomique simple est symbolisée par une lettre : « p ». Une phrase complexe comme « la valeur de l’euro est faible et le déficit de la balance commerciale est plus important » comprend un connecteur « et » entre deux phrases atomiques complètes. Dans une phrase complexe il ya deux connecteurs ou plus : « p q ».
Exemple : « L’euro perdra de sa valeur ou les exportations chuterons et l’inflation augmentera » On parlera de formules Cette phrase peut être lue de deux façons différentes : « (p q) r » ou « p (q r) » Selon qu’on choisi l’un ou l’autre connecteur comme connecteur principal. L’avantage de l’utilisation des symboles c’est qu’elle distingue clairement les deux. Ces deux formules n’admettent pas encore de conditions de vérité, puisqu’il n’y a pas de prémisses ou n’intègrent pas un raisonnement.
Autre exemple : « Je ne dépasserai pas les limites de vitesse autorisée ou je les dépasserai et je mourrai »
« (p q) r » = je me tuerai dans tous les cas ou « p (q r) » = la mort n’est pas inévitable. L’usage des parenthèses change le sens.
Les connecteurs ont une certaine portée dans les phrases.
• La portée d’un connecteur binaire dans une formule est cette partie de la formule comprise dans les parenthèses la plus proche à l’intérieur de laquelle se trouve le connecteur.
• Ou sinon la portée des connecteurs est l’ensemble de la formule s’il n’y a pas de parenthèses.
• (En clair : Un connecteur ne fonctionne qu’à l’intérieur des parenthèses qui l’encadrent et si un connecteur est sans parenthèses il porte sur toute la formule.) Le connecteur principal d’une formule est le connecteur qui ne figure dans l’étendue d’aucun autre connecteur.
• Une convention qui concerne uniquement le connecteur de négation : il aura la plus petite portée possible.
Donc : « p q », il n’est pas nécessaire d’écrire : « ( p) q » parce que c’est pareil et que ça surcharge l’écriture.
Etude de quelques exemples ambigus :
Exemple 1 : « Notre déficit budgétaire et le déficit de la balance commerciale augmentent »
Il s’agit de dresser un dictionnaire des propositions, avant de passer à la symbolisation. Dedans je ne peux admettre que des phrases complètes, et de préférence non négatives. (Question de rigueur, même si mettre des phrases négatives dans ce dictionnaire change peu de choses sur le plan logique)
P= Notre déficit budgétaire augmente
Q = le déficit de la balance commerciale augmente
Ensuite on passe à la symbolisation : « p q » On ne peut pas faire l’économie de cette remise en place pour restituer la forme logique réelle de cette phrase.
Exemple 2 : « Jean assistera à la conférence mais Marie n’y assistera pas »
Une phrase peut contenir un connecteur qui ne figure pas dans la liste des connecteurs principaux. Par exemple « mais, tandis que, alors… etc. » Toutes les nuances ne peuvent pas être rendues donc il faut simplifier pour retrouver nos symboles. Le « Mais » est lié à l’expression d’une attente. Si on considère que cette phrase est une injonction (ce qui est possible) elle sort du cadre des porteurs de vérité). Cette nuance de déception en français n’infère pas sur les valeurs de vérité, elle n’ pas d’importance logique. D’où : « p q »
Exemple 3 : « Le trafic d’organes est immoral et illégal mais rapporte gros »
Une difficulté liée à la symbolisation de la négation : la négation peut être exprimée sans qu’aucun connecteur n’apparaisse explicitement
P = le trafic d’organes est immoral
Q = le trafic d’organes est illégal
R = le trafic rapporte gros
D’où : « p q r »
attention ceci : « (p q) r » n’est pas équivalent !
Exemple 4 : « Au moins l’un de nos deux déficits, budgétaires et de la balance commerciale, augmentera »
Les parenthèses ne servent à rien s’il n’y a que des conjonction puisque : « p p p p » de même que « p p p p » la conjonction est la disjonction / ne sont pas forcément explicite et exprimées avec un « et » ou un « ou ».
Au moins un, signifie : soit l’un soit l’autre soit les deux. D’où : « (p q) (p q) ». Conventionnellement on n’écrire juste « p q » car « » est inclusif. C'est-à-dire qu’il signifie « au moins un » c'est-à-dire un des deux sans exclure que les deux énoncés puissent être vrais en même temps. Le « ou » exclusif se note « w », il ne peut alors y en avoir qu’un seul.
Exemple 5 : « Ni marie ni Jean n’assisterons à la conférence logique »
La symbolisation de la négation simultanée.
P = Marie assistera à la conférence
Q = Jean assistera à la conférence
« p q » « (p q) » « p q »
Exemple 6 : « Jean et marie n’assisterons pas tous les deux à la conférence »
« p q » « (p q) » « p q »
exercices :
p = Nicolas aime Sophie
q = Sophie aime Nicolas
Trouver dans la langue naturelle un énoncé qui traduise le plus clairement posible de la façon la plus concise possible les formules suivantes :
1. Soit Nicolas aime Sophie, soit Sophie aime Nicolas, Soit ils s’aiment tous les deux
2. Nicolas aime Sophie et Sophie aime Nicolas = Nicolas et Sophie s’aiment
3. Soit Nicola n’aime pas Sophie, soit Sophie n’aime pas Nicolas, soit ils ne s’aiment ni l’un ni l’autre
4. Nicolas n’aime pas Sophie et Sophie n’aime pas Nicolas = Nicolas et Sophie ne s’aiment pas
5. Il n’est pas vrai que Nicolas et Sophie s’aiment.
Dommage Lulu, tous les symboles logiques ont été remplacés par des petits carrés. Donc c'est pas accessible pour ceux qui ne connaissent pas. Ceci dit, le texte à l'air bien expliqué !
Perso sinon, j'ai toujours eu bien aimé le domaine des maths, mais plus j'avance dans les années (et dans le concours de prof) et plus je me dis que ce ne sont pas les maths qui m'intéressent, mais... la façon des les enseigner.
J'aime faire comprendre la notion de dérivée en un point aux élèves de 1ere S qui n'y captait que dalle avec leur prof, avec des dessins sur logiciel de géométrie dynamique, et des vieux souvenirs sur les droites qu'ils sont sensés posséder. Je jubile lorsque j'explique que la phrase contraire de "Toutes mes craies sont blanches" n'est pas "Toutes mes craies sont noires" mais bien "Il existe une craie qui n'est pas blanche". Ou encore expliquer la différence entre le "ou" français et le "ou" en mathématiques.
Bref, je crois que je vais me diriger vers la didactique quand je serais plus grand.
Mais pour répondre à la question initiale, simonveil tu n'es pas un cas à part. Souvent dans la tête des élèves, il y a l'implication "C'est des maths donc c'est dur donc je n'y arriverais pas donc je ne fous rien". Dommage, parce que le postulat de départ est faux, il suffit juste de comprendre ce que l'on fait. Les maths ne sont pas que des symboles kabbalistiques.
Dryss a écrit :Mais pour répondre à la question initiale, simonveil tu n'es pas un cas à part. Souvent dans la tête des élèves, il y a l'implication "C'est des maths donc c'est dur donc je n'y arriverais pas donc je ne fous rien". Dommage, parce que le postulat de départ est faux, il suffit juste de comprendre ce que l'on fait. Les maths ne sont pas que des symboles kabbalistiques.
Je me rend tout juste compte de ça maintenant.
Il suffit juste d'y aller pas à pas et de se contenter au début de piger seulement ce qui est évident car ce sont ces evidences assemblées les unes aux autres qui permettent de résoudre une équation compliquée.
Je commence à avoir un délic et à trouver ça amusant, même limite ça me calme.
Purée je pensais jamais dire ça des maths un jour.
J'adore résoudre une équation, prouver qu'une formule est associative ou commutative en justifiant par une table de vérité, trouver les équivalences entre connecteurs, ça apporte un réel sentiment de satisfaction!
Je comprend mieux les gens qui aiment les maths maintenant.
Si je passe en licence 2 normalement plus qu'une année à supporter ce genre de choses 3h par semaine et une fois arrivée en licence 3 je choisis pas le parcours logique!
Mon sujet est arrivé! Je suis absolument la personne la plus inepte en maths que la Terre n'est jamais portée! Jamais dépassé 5 de moyenne de toute ma scolarité, et en première L, je faisais tellement de bordel pendant le cours Maths-informatique niveau CE2 spécial littéraire classe poubelle que j'ai eu... 5! 
